음과 화음 속에 내재하는 수학이론

저자가 작년에 음악화음을 도형으로 나타낸 책 "음악화음의 기하학"에서 저자는 화음과 화음의 진행을 도형으로 나타내고 "Yoon-Tonnetz"라 명명했는데, 본서 “음악화음을 수학하다”에서는 화음의 본질을 자연과학적인 방법으로 파헤쳐서 수량화 하였다는 점이 특징이며, 이 책에서도 역시 지난번과 마찬가지로 저자 자신의 고유한 이론체계를 토대로 “화음지수”라는 창의적인 내용을 전개하고 있다. 음악에 관심이 있는 이공학도에게는 이 책이 화음을 이해하고 화성학의 기초지식을 습득하는데 큰 도움이 될 것으로 생각되는 반면에, 물리학이나 수학에 대학 지식이 부족한 음악학도에게는 이 책이 골치 아파서 접근조차 하기 어려운 인상을 줄 수 있다고도 생각되나, 국내의 많은 음악학도와 음악학자들에게 탐구의 동기가 될 것을 기대해 본다.

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머리말 9

제1장 음률(Temperament) 19
1-1 피타고라스 음율(Pythagorean Temperament) 20
1-2 순정율(Pure Temperament) 28
1-3 중전음률(Meantone Temperament) 33
1-4 평균율(Equal Temperament) 36
1-5 음계 간 음높이 비교 38

제2장 음의 생성(Generation of Sound) 45
2-1 음이 생성되어 귀에까지 전달되는 과정 45
2-2 진동과 파동일반 49
2-3 파동에 대한 주요 용어 55
2-4 현악기의 음의 생성이론 57
2-5 관악기 음의 생성이론 82

제3장 음의 조율(Sound Tuning) 95
3-1 비화음도(Inharmonicity) 95
3-2 피아노 조율과 Railsback Curve 104
3-3 기타(Guitar)의 경우 107
제4장 음의 전달(Propagation of Sound) 117
4-1 1차원 음파(One Dimensional Sound Wave) 118
4-2 음파의 해 127
4-3 요약 129

제5장 협화음(Consonance)과 화음지수(Harmony Index) 135
5-1 음간 조화도(Harmonicity)와 거칠기(Roughness) 135
5-2 화음선호도(Harmony Preference) 141
5-3 화음선호도와 화음지수(Harmony Index) 145
5-4 음의 진동수 비 159

제6장 화음지수의 응용 177
6-1 7th 화음의 화음지수 177
6-2 텐션화음(Tension Harmony)의 화음지수(Harmony Index) 181
6-3 기존 곡 분석 188
6-4 보이지 않는 음 194

제7장 화음의 변환 211
7-1 건반정의(음의 숫자정의) 211
7-2 Ionian 장음계 213
7-3 다이아토닉화음(Diatonic Harmony) 215
7-4 삼화음의 변환 220
7-5 7th 화음의 변환 239

맺는말 253

[머리말]
저는 2019년 12월에 ‘음악화음의 기하학’이란 책을 냈습니다. 저는 그 책에서 음악에서 활용하는 화음과 화음의 진행을 도형으로 나타내고자 시도했습니다. 그 도형은 백짓장에 그릴 수는 없을 것이므로, 그림을 그릴 판의 설계는 가장 기본적이고 중요한 절차였습니다. 그리고 설계한 그림판을 Yoon-Tonnetz라고 명명했습니다. 4개의 음으로 구성되는 모든 7th 화음은 그 그림판 위에서 간단한 사각형으로 나타났으며, 화음진행 또한 화음사각형들의 배치, 연결 등을 통해 시각적인 설명이 가능했습니다. 자연스런 화음진행은 화음사각형들의 물 흐르듯한 연결로 나타났습니다. 나아가 먼저 창조적으로 도형을 배치하고 연결함으로써 그에 해당하는 화음의 진행을 추출할 수도 있음을 제안하였습니다. 즉, 그림을 그려 작곡을 할 수 있는 가능을 제시한 것입니다.그런데, 그러한 일련의 작업에서 더욱 본질적인 음(sound)이나 그 음들로 구성되는 화음의 성격에 대해서는 수학적 분석을 생략했었습니다. 즉, 12음계의 한 옥타브에는 반음(half tone)씩 떨어진 12개의 음이 존재하며 그들 음간에는 어떠한 관계가 있는지, 또 예를 들어, ‘첫 번 째 음(바탕음, root)과 제3음 사이의 음정이 장3도, root와 제5음 간의 음정이 완전5도, root와 제7음 간의 음정이 장7도인 4개의 음이 모이면 major7화음이다’ 등의 화음정의에 대해서는 의문 없이 당연하다는 전제아래 화성이론을 펼쳐나갔던 것입니다. 그러나 생각하면 생각할수록 음악의 기초재료인 음, 또 그 음들로 구성되는 중간 재료로서의 화음에 대한 확실한 개념과 지식이 필요하다는 결론에 도달하였습니다. 즉, ‘화음의 본질은 과연 무엇인가?’ 더욱 쉽게 설명하면,‘C 장조에서 C(도)와 G(솔)는 왜 어울리는 협화음이며, C(도)와 D(레)는 왜 서로 잘 어울리지 않는 불협화음인가?’등의 질문에 대해 논리적인 설명과 수학적인 해석이 필요하다는 것입니다. ‘그냥 듣기에 그래서’라는 것은 매우 비과학적인 설명입니다. ‘그것을 꼭 그렇게 따져야 하느냐? 인간 감정과 정서의 대표주자인 음악의 재료인 음에 대해 과도한 해부학적 접근 아니냐?’ 하는 의견이 있을 수도 있습니다. 그러나 이러한 협화음과 불협화음의 느낌을 수학ㆍ물리이론을 통해 규명하고, 더 나아가 음간의 어울림의 정도를 정량화하는 시도 또한 더욱 확실한 화성학적 지식을 구축한다는 점에서 의미가 크다고 하겠습니다. 특히 따지는데 익숙한 이ㆍ공학을 전공했으면서 음악에도 관심이 많은 사람들에게는 화음의 원리와 화음정도에 대한 수학적인 이해는 자신의 음악지식향상에 큰 도움이 될 것입니다.나아가 대중음악의 주요 장르의 하나인 재즈에 대해서 잠깐 눈을 돌려 보겠습니다. 재즈 매니아 중에는 찬송가나 발라드에서는 듣기 힘든 오묘한 화음 또는 약간 불협화음스러운 화음진행에 묘미가 있다는 사람이 많습니다. 사실상 저 자신은 20년 전만하더라도 재즈를 좋아하지 않았습니다. 아니 싫어했습니다. 그 불협화음, 정확히는 낮은 화음정도 때문에 재즈를 들으면 오히려 불안감이 생기기도 했습니다. 그러나 저의 주위에는 클래식 음악, 가곡, 찬송가, 동요 등에 사용되는 장3화음, 단3화음 같이 딱 떨어지는 화음들은 너무 무미건조하고, 예를 들어 협화도가 낮은 7th 음이나 9th 음, 13th 음 등 텐션을 가미해 좀 삐딱한 화음으로 이루어지는 재즈가 참으로 매력적이라고 말하는 사람이 의외로 많았습니다. 그런가하면 7th 화음까지는 들을 만한데 추가되는 텐션 때문에 불협화음으로 들린다고 재즈에 흥미를 느끼지 못하는 사람 또한 적지 않은 것도 사실입니다. 아무튼 다소 삐딱한 화음이 더욱 듣기 좋은 어울리는 화음이라고 주장하는 사람, 재즈의 화음은 듣기 난해한 불협화음이라고 말하는 사람이 맞서는 형국입니다. 그런 면에서 보면, 화음이란 서로 다른 음간의 공진 때문이라기보다 오히려 태어난 후 훈련과 습관에 의해 생겨난 익숙함의 결과, 또는 지극히 개인적인 호불호의 차이 때문인지도 모르겠습니다.이러한 음과 화음에 대한 본질적인 내용 외에도, 그렇게 만들어진 화음의 다양한 진행에도 무언가 수학적인 근거가 있지 않을까, 아니면 적어도 수학적인 표현과 설명이 가능하지 않을까 하는 점도 논의해야 할 대상이라고 생각합니다.‘음악 속에는 수학이 존재한다.’라는 말은 이제 모두에게 상식으로 받아들여집니다.그러나 구체적으로 무슨 수학이론이 어떤 모습으로 존재하느냐하는 질문에 봉착하면 선뜻 대답하기가 쉽지 않습니다. 음악이론 책을 접해 본적이 있다든지, 음악선생님에게 배운 것을 기억하는 사람들은 이구동성으로 Pythagoras(BC 582? ~ BC 497?)의 이야기를 합니다. ‘음의 높낮이는 수학적인 문제로서 현악기(絃樂器)의 현이 길면 낮은 소리가 나고 현이 짧으면 높은 소리가 난다. 즉 소리의 높낮이는 현의 길이에 의하며, 현의 길이 차이는 현의 진동수차이를 유발하고, 더 나아가 현의 길이와 진동수는 서로 반비례한다. 그리고는 두 현의 길이가 일정한 정수비가 되는 경우, 그 두 현에서 발생하는 두 음은 아름다운 조화, 즉 화음(和音)을 이룬다.’고 말합니다. 음악과 수학의 관계에 대한 보통의 지식은 대개 여기까지입니다.일반인으로서 이 정도의 상식만 가지고 있어도 훌륭한 것은 사실입니다만, 좀 더 탐구적인 사람에게는 다음과 같은 추가질문이 여전히 남습니다. 이들을 요약해 봅니다.1) 현의 길이와 진동수는 반비례한다는데 그 이론적 근거는 무엇인가? 예를 들어, 기타를 보면 현의 길이뿐 아니라, 현의 재질이나 두께 등도 음높이와 관계가 있는 것 같은데 과연 이에 관해 일목요연하게 설명할 수 있는 물리수학이론은 무엇인가? 나아가 세상 모든 현상에는 비선형성이 존재한다는데 음을 내는 데에도 그러한 현상이 존재하는가? 존재한다면 그 이론적 배경은 무엇인가?2) 더욱 중요한 것은 앞의 질문에 대한 대답이 구해졌더라도, 두 음의 진동수(또는 현의 길이)가 일정한 정수비가 되면 아름다운 화음을 이룬다는 Pythagoras의 주장은 과연 옳은 것인가? 옳다면 화음 중에도 잘
어울리는 화음이 있고, 덜 잘 어울리는 화음이 있고, 불협화음에 가까운 화음도 있으니, 이 화음들의 어울림정도를 계량화할 수는 없는 것인가?3) 나아가 우리가 통상 사용하는 3화음(triad, 3개의 음으로 구성)또는 7th 화음(4개의 음으로 구성), 그리고 더 나아가 텐션 음이 추가됨으로써 화음의 어울림정도는 어떻게 변하는지? 통상 관례에 따라 추가하는 7th 음이나, 텐션 음 등에 대해서도 수학적인 근거를 들어 어울림관계를 설명할 수는 없을까?4) 완전5도 하행진행처럼 각종 음악에서 사용하는 소위 자연스런 화음의 진행에도 어떤 수학적 근거가 있는 것은 아닐까, 적어도 화음진행을 수학적으로 표현할 수는 있지 않을까? 화음진행에도 어떠한 물리ㆍ수학적인 근거가 있는 것인가? 등일 것입니다.이러한 질문에 대해 물리ㆍ수학적 접근을 시도한 것이 이 책입니다. 악기를 이용하여 음을 생성하고, 필요하다면 음을 전기신호로 바꾸어 증폭하여 보내고, 음으로 다시 바꾸어 공기 중을 전파하여 귀에 도달하는 과정 중에서 전기부분은 생략하였습니다. 즉 음의 생성과 전파과정에 존재하는 물리수학, 그리고 음간의 어울림에 내재되어 있는 물리수학의 내용을 설명한 것입니다. 쉽사리 짐작할 수 있듯이 이 책의 내용을 완벽히 이해하기 위해서는 상당수준의 물리학, 수학 그리고 화성학 지식이 필요합니다. 그러나 그러하지 못하더라도 내용에의 접근과 이해는 충분히 가능합니다. 혹시 화성학에 대한 기초지식은 있는데 물리학, 수학에 대한 지식이 부족한 음악학도는 수식이 나오는 부분, 특히 2, 3, 4장은 과감히 생략하고 해당 챕터의 마지막 부분인 결론만 읽고 기억하는 방식으로 이해하면 됩니다. 그 반대로 물리학, 수학지식을 충분히 갖추고 있으며, 음악에도 관심은 많지만 화성학지식이 충분치 않은 이공학도의 경우에는 오히려 정독을 통해 필요한 화성학의 기초지식도 더불어 습득할 수 있습니다.이 책의 내용에 대해 각 장 별로 간단히 설명합니다.제1장에서는 음율(temperament)에 대해 설명합니다. 음율은 음악을 존재하게 하는 음계에 대한 법칙입니다. 피타고라스음율, 순정음율,중전음율, 그리고 평균율 등에 대해 기초적인 수학이론을 빌어 설명합니다. 각 음계의 특징, 장단점, 음율 간의 관계 등을 설명합니다.제2장에서는 악기에서 음을 발생시키는 메카니즘에 대해 물리적, 수학적 접근을 통해 설명합니다. 음은 진동의 문제이며, 이 문제를 수식전개를 통해 파헤칩니다. 궁극적으로 예를 들어, 피아노의 ‘도’를 치면 그 음뿐만 아니고 한 옥타브 위의 ‘도’, 그 위의 ‘솔’ 또 그 위의 ‘도’ 등이 모두 한꺼번에 소리 난다는 사실을 게 됩니다. 소위 배음(倍音)입니다. 사실상 이 부분은 진동역학(vibration dynamics)과 음향학(acoustics)서 다루는 핵심부분이기도 합니다. 현악기음과 관악기음의 차이가 무엇인지도 물리ㆍ수학의 이론을 통해 설명합니다.제3장에서는 피아노의 조율방법에 대해 설명합니다. 조율의 기술적인 면이 아니고, 이론적인 면입니다. 피아노 현의 진동수에 대한 음의 변화는 선형적이지 않고 높은 음 영역에서 비선형성이 나타납니다. 그 이유를 수학적으로 설명합니다. 또 이 수학적 비선형성(non-linearity)또는 음악적 비화음성(inharmonicity)을 보정하기 위하여 피아노조율은 중간음영역대에서는 평균율을 적용하고 높은음역대와 낮은음역대에서 적용하는 Railsback Curve의 이론적 배경을 설명합니다. 비슷한 이론이 기타(guitar)의 구조에도 적용

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