“최고의 수학은 기묘한 보편성에 있다” 극강의 수학을 탐닉하는 이들을 위한 수학문제의 최전선

당신은 수학이라는 과목이 얼마나 광범위한지, 학교에서 배운 수학보다 얼마나 더 풍요로운지, 얼마나 다양하게 응용될 수 있는지, 그러면서도 수학의 여러 부분이 어떻게 탄탄하게 연결되어 전체를 이루는지에 대해 좀 더 이해하게 될 것이다. 더구나 그 모두는 수수께끼 풀이와 게임으로 얻게 될 것이다. 중요한 것은 당신의 사고를 유연하게 펼치는 일이다. 결코 놀이의 위력을 얕잡아보지 마시라. - ‘들어가며’ 중에서

들어가며 / 5
1장 네 반쪽이 내 반쪽보다 크잖아! / 15
2장 동전 던지기의 확률은 공정하게 나올까? / 27
3장 가장 짧은 끈으로 신발 묶기 / 45
4장 간단하지만 까다로운 역설들 / 57
5장 네모상자에 둥근 우유병 채우기 / 71
6장 끝나지 않는 체스 게임 / 87
7장 사각형을 만드는 추상적 전략게임 / 99
8장 나를 감춰주는 프로토콜 / 107
9장 달에 있는 제국들 / 117
10장 제국들과 전자공학 / 133
11장 섞어도 섞어도 제자리 / 149
12장 이중 거품, 고생과 근심 / 165
13장 얽히고설킨 벽돌공장의 선로들 / 181
14장 질투 없는 케이크 분배 / 193
15장 찬란하게 빛나는 반딧불이들 / 205
16장 전화기 줄은 왜 항상 엉켜 있을까? / 217
17장 곳곳에 있는 시어핀스키의 삼각형 / 231
18장 로마제국을 방어하라 / 245
19장 삼각분할 가져가기 / 257
20장 부활절 날짜 맞히기 / 269
피드백 / 280
참고문헌 / 292

다양한 사람들은 다양한 상황에서 사물들에 다양한 가치를 매긴다. 어떤 족속은 만족시키기가 매우 어렵다. 지난 50년 동안 수학자들은 공정한 분배의 문제를 놓고 씨름했다. 보통 생선이 아니라 케이크를 가지고서 논의되는 그 문제에 대하여 지금은 포괄적이며 놀랍도록 심오한 이론이 존재한다.
_pp. 17~18, 네 반쪽이 내 반쪽보다 크잖아사람들은 흔히 ‘평균 법칙’을 이야기한다. 그 근거는 동전을 반복해서 던지면 결국 고른 결과가 나와야 한다는 직감이다. 심지어 어떤 이들은 이런 경우라면 뒤가 나올 확률이 높아진다고 믿는다. 흔히 “이번에는 뒤일 가능성이 높아” 하고 생각한다. 다른 이들은 동전은 기억을 못한다고 단언한다.
_p. 29, 동전 던지기의 확률은 공정하게 나올까? 신발끈을 묶는 일반적인 방법은 최소한 세 가지가 있다. 〈그림 5〉를 참조하라. 미국식 지그재그 묶기, 유럽식 직선 묶기 그리고 주로 신발가게에서 쓰는 빨리 묶기가 그것들이다. 구매자의 입장에서 볼 때 신발끈 묶기 방법들은 얼마나 예쁜가에 따라서, 또 얼마나 번거로운가에 따라서 구별된다. 그러나 생산자의 입장에서 더 중요한 문제는 어떤 방법에 끈이 가장 짧게 드는가(어떤 방법이 가장 저렴한가)다.
_p. 48, 가장 짧은 끈으로 신발 묶기 수학은 적어도 세 가지 이유에서 사람들의 흥미를 유발한다. 첫째, 수학은 재미있다(사람들이 이 책에 몰입하는 가장 중요한 이유다). 둘째, 수학은 아름답다. 셋째, 수학은 유용하다. 유용성에도 정도 차이가 있다. 수학적 아이디어나 방법은 수학의 다른 분야에서 유용할 수도 있고 이론 과학자들에게 유용할 수도 있고, 실험실에서 유용할 수도 있고, 산업과 상업의 세계에서 유용할 수도 있고, 평범한 시민들의 일상에 유용할 수도 있다. _p. 119, 달에 있는 제국들 수학의 매력 중 하나는 매우 단순한 요소들로 이루어졌으며 설명하기도 쉽고 수많은 증거와도 관련된 문제가 수백 년 동안 세계 최고의 천재들을 괴롭힐 수 있다는 점이다. 페르마의 마지막 정리와 케플러 문제, 4색 추측이 그런 예들이다. 잠시 후 간략하게 설명하겠지만, 이 문제들은 모두 지난 몇 십 년 동안 해결되었다. 아마추어 수학의 재미 가운데 하나는, 물론 그럴 가능성은 낮지만, 유명한 미해결 문제의 해답을 찾아내는 것이다. _p. 183, 얽히고설킨 벽돌공장의 선로들 전화기 줄은 왜 항상 엉킬까? 내가 말하는 줄은 긴 나선 코일처럼 생겨서 잡아당겨 길게 늘일 수 있는 줄이다. 벽에 걸기도 하는 구식 전화기의 송수화기는 그런 줄로 본체에 연결되어 있었다. 처음 전화기를 사서 벽에 걸면 전화기 줄은 예쁘고 얌전하게 아래로 드리운다. 그러나 몇 주가 지나면 엉킨 자리들이 생긴다. _p. 219, 전화기 줄은 왜 항상 엉켜 있을까?수학을 게임과 퍼즐을 통해 설명하는 전통은 적어도 고대 바빌로니아까지 거슬러 올라간다. 바빌로니아의 점토판들에는 오늘날의 산수 ‘응용문제’라고 해도 과언이 아닌 수수께끼들이 나온다. 온갖 새로운 수학 분야들이 급속히 성장함에 따라 전혀 새로운 게임들이 생겨났고, 그 게임들의 규칙은 바빌로니아인들이 전혀 몰랐던 위상수학이나 집합론의 개념들을 동원하지 않으면 설명할 수 없다.
_p. 259, 삼각분할 가져가기 성탄절은 항상 12월 25일이므로, 성탄절 날짜를 계산하는 데는 전혀 어려움이 없다. 그러나 부활절은 전혀 사정이 다르다. 부활절은 3월 22일과 4월 25일 사이 아무 날짜나 될 수 있다. 가능한 날짜의 폭이 5주나 되는 셈이다. 초기 기독교 교회는 나름의 방법들을 고안하여 부활절 날짜를 계산했다.
_p. 271, 부활절 날짜 맞히기

▼ 이언 스튜어트가 사랑하는, 우리 일상에 얽힌 극한의 수학문제들
누군가에게 수학은 순수한 공포를 경험하게 하는 학문이지만 다른 누군가에게는 세상을 이해하는 언어이자 즐거운 놀이다. 이 책의 저자 이언 스튜어트처럼 말이다. 스튜어트는 자신에게 수학은 영감과 즐거움의 원천이라고 말한다. 물론 조류 관찰자가 새를 향해 품은 열정을 모든 사람이 이해할 수 없듯 수학을 향한 열정을 모든 사람이 즐길 수 없을 거란 것도 알고 있다. 그래서 이 책은 수학에 매력을 이미 알고 있는 사람들, 적극적으로 수학을 좋아하는 사람들을 위한 책이다.
이언 스튜어트는 수학의 재미를 느낄 수 있는 20개의 고난이도 수학 퍼즐의 세계로 독자들을 초대한다. 이 책은 확률과 통계, 기하학은 물론이고 위상수학과 그래프 이론 등 수학 천재들이 세상을 바라보는 방식과 문제 해결법의 비밀을 엿보게 해준다. 오랜 시간 수학자들의 호기심과 탐구심을 자극해온 20가지 퍼즐들을 통해 독자들은 현대 수학의 핵심에 한층 쉽고 흥미롭게 다가갈 수 있다.
스튜어트는 1987년에서 2001년까지 〈사이언티픽 아메리칸Scientific American〉에 발표한 수학 게임에 관한 칼럼들을 기초로 해, 발견된 모든 오류를 수정했다. 본문 뒤에는 각 장에 해당하는 독자의 논평들이 실려 있는데, 자신의 생각과 비교하며 읽는다면 더욱 훌륭한 독서가 될 것이다.
스튜어트는 이 책의 목표가 추상적인 생각과 현실 세계를 잘 버무려 수학에 열광하는 독자에게서 다양한 수학적 아이디어를 끌어내는 것이라고 말한다. 현실에 적용한 수학문제들에서 실용적 해법을 얻는 것에 그치는 것이 아니라 새로운 수학의 가능성을 얻기를 바란다. 물론 몇 페이지의 글로 중요한 수학을 응용하고 개발하는 것은 매우 어렵다. 하지만 한 상황에서 도출된 수학적 아이디어가 예기치 않게 다른 상황에 적용되는지를 감상하는 것은 충분한 상상력만으로도 가능할 것이다.▼ 케이크 나누기에서 알고리즘을 읽고, 비누거품에서 극소곡면을 보다
케이크를 나눠 먹는 일조차 ‘누구도 불만 없이 공평하게 나눠야 한다’는 조건이 붙는다면 쉽지 않은 일이 된다. 이때 여러 명의 사람들에게 케이크를 공정하게 나눠주는 법을 우리에게 알려주는 게 수학이다. ‘케이크 자르기’라는 주제는 최소한 3500년 전 고대 바빌로니아까지 거슬러 오르는 수학 문제다. 그럼에도 지금껏 명쾌한 해답은 알려지지 않고 있다. 책에서 제시하는 해답은 한 사람이 자르고 다른 사람이 고르는 것이다. 물론 피드백에 언급된 제임스 프래즐리의 논평을 빌리면, 질투 없는 분배의 문제를 해결하는 과제는 현실이나 계산과 무관하다. 인간에게는 항상 남의 떡은 커 보이게 마련이기 때문이다.
최고의 수학은 기묘한 보편성을 가진다. ‘전화기 줄은 왜 항상 엉켜 있을까?’에 대한 이야기는 엉킨 전화기 줄을 해결하는 데만 유용한 것이 아니다. 꼬이고 감기는 것은 현실 속에 많다. 식물의 덩굴손, DNA 분자, 해저 통신 케이블 등도 흔하게 볼 수 있는 잘 꼬이는 것들이다. 겉으로는 전혀 다르지만 이 현상들을 이해할 수 있게 하는 수학적 모형은 한 가지로 단순하다. 물론 그 모형이 원하는 모든 해답을 주지는 않는다. 다만 수학적 분석의 길을 열고, 그 기반 위에서 더 복잡하고 상세한 모형들이 개발될 수 있도록 해주기 때문에 중요한 것이다.
책은 이 밖에도 로또번호 당첨, 깜짝 시험의 날짜, 카드를 섞어도 다시 제자리로 돌아오는 마술, 로마황제의 군대배치 방법, 지도 색칠하기, 아시아 반딧불이의 특이한 행동 등 우연히 얻은 아이디어 속에서도 수학이 진지하게 생활에 응용된다는 것을 보여준다. 스튜어트가 책에서 말하고 싶은 것은 추상적인 생각과 현실 세계를 잘 버무려 다양한 수학적 아이디어를 끌어내는 것이다. 물론 이 책을 100% 이해하지 못할 수도 있다. 하지만 보통의 독자들도 충분한 지적 쾌락을 느끼면서 퍼즐 풀이에 빠져들 수 있다.
책은 장마다 독립적인 구성이라 어디를 먼저 읽어도 상관이 없다. 당연히 쉽다고 느끼는 장을 먼저 읽어도 좋다. 책을 읽고 나면 수학이라는 과목이 얼마나 광범위한지, 학교에서 배운 수학보다 얼마나 더 풍요로운지, 얼마나 다양하게 응용될 수 있는지 알게 될 것이다.

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