함수와 미적분을 기초부터 응용까지

함수와 미적분을 기초부터 응용까지, 정의와 정리로 명확하게 이해하자! 미적분을 비롯한 함수의 개념을 수학적 정의와 정리로 명확히 제시하고, 이를 증명하면서 본질을 보여준다. 먼저 미적분을 배우는 데 필요한 집합과 사상, 실수의 특성, 함수의 기본 특성과 같은 기초 지식을 배운 뒤 미적분을 정의내리고 계산하는 방법을 알아본다. 그리고 응용 분야에서 많이 사용하는 삼각함수, 테일러 공식, 다변수함수 등을 배운다. 또한 이 책에서 다루는 수식은 식을 분해하고 변형하고 증명하면서 왜 이 식이 성립하는지 논리적으로 이해할 수 있도록 설명한다.

지은이의 말
옮긴이의 말
이 책에 대해
머신 러닝에 필요한 수학
그리스 문자표
이 책에 나오는 정의 · 정리
베타리딩 후기

1장 수학의 기초 개념
__1.1 집합과 사상
____1.1.1 집합이란?
____1.1.2 사상이란?
____1.1.3 집합의 연산
____1.1.4 보충설명: 논리식을 이용하는 증명 방법
__1.2 실수의 특성
____1.2.1 유리수의 특성
____1.2.2 실수의 완비성
____1.2.3 실수의 농도
__1.3 주요 정리 요약
__1.4 연습 문제

2장 함수의 기본 특성
__2.1 함수의 기본 연산
____2.1.1 함수의 평행이동과 확대 및 축소
____2.1.2 합성함수
____2.1.3 역함수
__2.2 함수의 극한과 연속성
____2.2.1 함수의 극한
____2.2.2 함수의 연속성
__2.3 주요 정리 요약
__2.4 연습 문제

3장 함수의 미적분
__3.1 함수의 미분
____3.1.1 미분계수와 도함수
____3.1.2 도함수의 계산 예
__3.2 정적분과 원시함수
____3.2.1 연속함수의 정적분
____3.2.2 도함수와 적분의 관계
__3.3 주요 정리 요약
__3.4 연습 문제

4장 초등함수
__4.1 지수함수·로그함수
____4.1.1 지수함수의 정의
____4.1.2 로그함수의 정의
____4.1.3 지수함수·로그함수의 도함수
__4.2 삼각함수
____4.2.1 삼각함수의 정의
____4.2.2 삼각함수의 도함수
____4.2.3 탄젠트함수의 정의
__4.3 주요 정리 요약
__4.4 연습 문제

5장 테일러 공식과 해석함수
__5.1 테일러 공식
____5.1.1 연속미분가능함수
____5.1.2 무한소 해석
____5.1.3 테일러 공식
__5.2 해석함수
____5.2.1 함수열의 수렴
____5.2.2 함수항 급수
____5.2.3 정급수
____5.2.4 해석함수와 테일러 전개
__5.3 주요 정리 요약
__5.4 연습 문제

6장 다변수함수
__6.1 다변수함수의 미분
____6.1.1 전미분과 편미분
____6.1.2 전미분가능 조건
____6.1.3 고차편미분함수
____6.1.4 다변수함수의 테일러 공식
__6.2 사상의 미분
____6.2.1 평면에서 평면으로의 사상
____6.2.2 어파인 변환에 의한 사상의 근사
__6.3 극값 문제
____6.3.1 일변수함수의 극값 문제
____6.3.2 이변수함수의 극값 문제
__6.4 주요 정리 요약
__6.5 연습 문제

부록 A 연습 문제 해답
__A.1 1장
__A.2 2장
__A.3 3장
__A.4 4장
__A.5 5장
__A.6 6장

찾아보기

왜 이 식이 성립하는가? 증명하면서 이해하자!왜 수식을 증명하는가?
가장 명확히, 가장 빨리 수식을 이해할 수 있기 때문이다. 예를 들어 생각해보자. 피타고라스의 정리를 어떻게 공부할 것인가? 피타고라스의 정리를 증명하고, 증명하면서 이해하면 된다. 이 정리가 왜 성립하는지 어떻게 증명할 수 있는지 파악하면 수식 안의 본질을 이해할 수 있다. 왜 수식의 본질을 이해해야 하는가?
수식의 본질을 이해하면 수식을 응용한 분야도 이해할 수 있기 때문이다. 단순히 공식을 외워 값을 대입해 계산하여 답을 내는 수준을 넘어서고 싶기 때문이다. 응용 분야(예를 들어 데이터 분석, 머신 러닝)의 책이나 논문을 읽으면서 어떤 상황에 수학 개념과 수식이 사용되는지, 여기서 이 수식이 왜 필요한지 이해하고 싶기 때문이다. 이 책은 구체적인 숫자를 사용하여 계산하지 않는다. 정의와 정리를 바탕으로 논리를 전개하고 증명해 나가는 과정을 놓치지 않도록 가능한 생략하지 않고 설명한다. [지은이 서문]
이공계 대학 1, 2학년이 공부해야 하는 수준의 해석학(미적분)을 기초부터 해설한 책입니다. 대학생을
대상으로 하는 교과서라면 이미 많은 책이 나와 있지만, 이 책의 특징은 ‘정의와 정리를 중심으로 엄밀하게 전개된 논의를 어떻게든 친절하게 설명한다’는 것입니다. 수식의 변환도 그 과정을 계산할 수 있을 만큼 생략하지 않고 작성해서 논의 전개를 놓치지 않도록 배려했습니다.
수학이 필요하다는 생각의 대부분은 수식을 포함하는 높은 수준의 책과 논문을 읽고 내용을 충분히 이해하고 싶기 때문 아닐까요? 그러려면 정리와 공식의 내용, 수식의 변환을 근본적으로 이해해야 합니다. 가장 빠른 길은 ‘증명의 내용을 이해하는’ 것입니다. 어떤 정리, 공식이 왜 성립하고 그것이 어떻게 증명되는지 등을 파악함으로써 수식의 배후에 숨어 있는 본질을 이해할 수 있습니다.
- 나카이 에츠지[옮긴이 서문]
이 책이 더 깊은 순수 수학뿐만 아니라 응용수학 분야, 특히 머신 러닝과 딥러닝 분야를 연구하는
데 필요한 수학적 기초를 다지는 좋은 계기가 되리라 믿습니다. 너무 생략하면 수학의 참맛을 못
보고, 너무 깊이 들어가면 시간을 허비하는 느낌이 드는데 그 경계선을 절묘하게 파악한 책이라
판단됩니다. 향후 더 깊은 해석학, 확률이론, 최적화이론, 선형대수 등의 수학 분야로 나아가는 데
많은 도움이 될 것이라 확신합니다.
- 이기홍

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