초등학교 수학의 새로운 발견

이 책의 저자인 반은섭 박사는 현재 싱가포르에서 수학을 가르치고 있다. 싱가포르는 전 세계에서 수학교육을 가장 잘하는 곳으로 유명하다. 이런 결과가 나온 배경은 무엇일까? 교사들이 독보적으로 유능해서일까, 그곳 학생들의 수학 학습 능력이 다른 나라 아이들보다 뛰어나기 때문일까? 싱가포르 아이들은 수학을 ‘어떻게’ 공부하고 있을까? 그 아이들에겐 수학을 쉽게 배우고 공부하는 특별한 DNA라도 있는 걸까? 이 같은 의문에 대해 저자는 “제가 만나본 많은 싱가포르 현지의 학생들과 초등학교와 중학교의 선생님들은 수학이 공부하기 어려운 과목이라는 것을 받아들이고 있습니다. 수학 학습은 동서고금을 막론하고 누구에게나 어렵고 힘들지요.”라고 말한다. 이어서 저자는 한국과 싱가포르 학생들이 수학을 대하는 자세와 수학을 공부하는 태도를 비교한다. 그리고 이렇게 고백한다. “싱가포르 학생들은 어려운 수학을 공부하기 위해 우리나라의 경우처럼 기계적인 계산을 의미 없이 반복하는 것이 아니라 실생활의 적절한 예를 통해 발견하고 수식에 담긴 의미를 찾으려고 부단히 노력합니다. 바로 이 점에서 차이가 발생합니다.” 그리고 수학 공부의 반석을 단단하게 놓을 수 있는 길로 ‘부모와 아이가 하루 삼십 분 함께하는 공부법’을 제안한다. 왜냐하면 자녀의 수학 공부에는 이 세상 누구도 대신할 수 없는 부모의 역할이 있다고 확신하는 탓이다. 그 구체적인 방법이 바로 ‘부모와 3습(習)하기’인데, 학교와 학원에서는 교사와 수업을 하고 집에 와서는 부모와 예습·복습·연습을 하는 것이다. 이 방법은 언뜻 평범해 보이지만 가장 어려운 길이기도 하다. 이 책에는 자녀들의 수학 공부를 도와줄 몇 가지 방법이 제시되어 있다. 한 그루의 ‘수학 나무’인 아이들과 함께할 작은 ‘수학 정원’을 아름답게 가꾸는 데 유효한 설명서로 이 책을 권하는 배경이다. 1부에서는 아이들이 왜 수학을 어려워하는지, 수학의 본성이 무엇이지, 또 아이들의 수학 공부를 도와주기 위해 어떤 교수 원리가 필요한지 소개한다. 두 장에 걸쳐 아이들에게 수학을 어떻게 가르쳐야 하는지, 아이들에게 어떤 수학을 가르쳐야 하는지 다룬다. 2부에서는 학교에서 다루는 중요한 수학 내용을 자녀들과 어떻게 공부해야 하는지 구체적으로 소개한다. 가장 기본적인 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈과 같은 사칙연산부터 분수와 비율, 도형과 측정을 가장 효과적으로 정확하게 공부하는 법을 소개하고, 이후 문장제 문제를 함께 풀이함으로써 앞서 소개한 공부법을 적용한다. 이때 저자가 제안하는 것이 ‘탐색(E)-궁리(C)-반성(R)’이라는 ‘ECR모형’이다. ‘탐색’이란 주어진 문제의 정보를 통해 무엇을 묻는지 확인하는 단계이고, ‘궁리’는 문제를 풀기 위한 최적의 모델을 끌어내고 문제 해결을 실행하는 단계이며, ‘반성’은 문제의 답을 확인하고, 수학지식을 확장하는 단계이다. ‘문제해결론’을 전공한 전문가답게 하나의 문제를 풀 때 시작과 끝에 이르는 풀이 과정은 물론 그 안에서 발생할 수 있는 물리적 요인과 심리적인 요인까지 아우르는 독특한 공부법은 특히 학부모들에게 실용적인 도움을 준다. 이 부분은 다른 수학 교육서에서 찾아볼 수 없는 이 책만의 특장이자 미덕이다. 이제, 최고의 수학교육 전문가이자 교사인 저자가 이끄는 대로 하루 30분 부모와 아이가 함께하는 수학 공부에 뛰어들어 보자. 그리고 ‘초등학교 수학의 놀라운 발견’을 몸소 경험해보자.

추천사 / 저자의 말
프롤로그 거대한 진리의 바다 앞에서
제1부 본격적인 수학 지도에 앞서, 알아두어야 할 것들
첫째 날 아이들에게 수학을 어떻게 가르쳐야 할까?
둘째 날 아이들에게 어떤 수학을 가르쳐야 할까?
제2부 1학년부터 6학년까지 가장 쉬운 수학 지도 방법
셋째 날 덧셈 _덧셈은 아이들이 처음 만나는 연산
넷째 날 뺄셈 _뺄셈은 표현만 달라진 덧셈
다섯째 날 곱셈 _곱셈은 덧셈의 다른 얼굴
여섯째 날 나눗셈 _나눗셈은 뺄셈의 다른 얼굴
일곱째 날 분수와 비율 _나와 세상의 관계 이해하기
여덟째 날 도형과 측정 _나를 둘러싼 세상 이해하기
아홉째 날 문장제 문제 풀이
열번째 날 문장제 문제 풀이(실전편)
에필로그 자녀와 함께하는 단 한 번의 추억 여행

따라올 때까지 느긋하게 기다려라
많은 사람들에게 수학이 어려운 이유가 있습니다. 수학은 일상 언어로 전개하는 학문이 아니라 고도로 추상화된 수식을 기본 언어로 다루기 때문입니다. 수식이란 수 또는 양을 나타내는 숫자나 문자를 연산 부호로 연결한 식입니다. 수학책은 수식으로 가득 차 있습니다. 세계 어디를 가도 동일한 수식을 사용합니다. 수식은 만국 공통언어이지요. 수학을 가르치는 사람들이 저지르는 흔한 실수가 있습니다. 예를 들어볼게요. 낯선 장소에 가서 길을 찾아본 경험은 누구에게나 있습니다. 현지의 사람들에게 길을 물어보기도 하지요. 어떤 사람들은 길을 알려주면서 아주 쉽게 찾아갈 수 있을 거라고 말하기도 합니다. 그들은 왜 쉽다는 말을 하는 걸까요? 본인들에겐 그 길이 너무도 익숙하기 때문입니다. 본인에게 익숙하니 상대방도 쉽게 찾을 수 있다고 ‘착각’하는 것이지요. 자녀들에게 수학을 가르칠 때도 마찬가지입니다. 우리에게 너무 익숙하니까 자연스레 “아니, 이것도 몰라?” 하는 볼멘소리가 저절로 튀어나오는 겁니다. 그러나 자녀들은 부모님과 달리 아무것도 모른다는 사실을 명심하세요. 아이들은 엄마나 아빠의 눈짓 하나 숨소리 하나만으로도 상황을 파악합니다. 이미 기가 죽은 상황에서 여러분이 알고 있는 지식을 성급하게 늘어놓는 것은 도움이 되지 않습니다. 이처럼 자신이 알고 있는 지식을 다른 사람에게 알려줄 때 흔히 발생하는 이 무의식적인 현상을 ‘지식의 저주’라고 합니다.
음수의 개념과 같이 우리가 지금 너무도 당연하게 알고 있는 개념들도 처음 나왔을 때에는 수학자들 사이에서도 받아들이기 어려웠습니다. 멀리 갈 필요 없습니다. 여러분의 학창시절을 떠올려보세요. 수학 학습이 마치 어두운 방에서 스위치를 찾는 것처럼 시간이 많이 걸리는 어려운 일 아니었나요? 여러분의 자녀도 마찬가지입니다. 인내심을 갖고 천천히 따라올 때까지 그들을 기다려주시기 바랍니다.
실패나 시행착오를 허용하라
수학의 많은 이론이나 개념은 수많은 시행착오 끝에 밝혀졌습니다. 중학교에서 학습하게 되는 음수와 같은 기본적인 수학 개념은 물론이고 최근에 밝혀진 페르마의 마지막 정리와 같은 난제들은 수백년의 시간에 걸쳐 다듬어진 수학의 내용들입니다. 시행착오는 시행을 해보고 오류를 발견한 후, 이를 극복해 다시 행하는 일을 반복하고 문제를 해결하는 것입니다. 이 시행착오의 과정은 수학 공부에서 매우 중요합니다. 그러나 대부분의 사람들은 모범 답안을 원하고 시행착오를 위험한 일이라고 생각합니다. 물론, 낯선 곳으로 가는 ‘우연의 여행’을 감행하는 것은 쉬운 일이 아닙니다. 우리가 인터넷 검색 결과가 알려준 ‘맛집’이나 SNS 단톡방에서 알려준 ‘그곳’에 가는 것은 앞선 이들의 검증이 주는 안전함 때문입니다. 그래서 우리는 대개 어디로 갈지, 무엇을 먹을지, 어느 숙소에서 묵어야 할지 미리 결정한 다음 여행을 떠납니다. 시행착오를 겪고 길을 잃고 헤매는 것을 불필요한 일이라고 여기는 탓입니다. 공부할 때도 그렇잖아요? 어려운 문제가 나오면 잠시 생각해보다가 곧 모범답안을 펼칩니다. 답안에 나온 풀이를 보면 갑자기 문제가 쉬워지는 놀라운 기적을 경험하면서 해결하곤 하지 않았나요? 여러분의 자녀에게는 실수나 시행착오를 충분히 경험하게 해주십시오. 실수가 ‘나쁜 것’이 아니라는 것을, 시행착오는 ‘모험’이라는 것을 몸소 깨닫게 해주세요. 일상에서도 공부에서도 말입니다. 문제를 풀 때도 전혀 엉뚱한 방향으로 도전해보고, 답도 틀려가면서 한 걸음씩 나만의 이유와 논리를 만들어가는 과정이 꼭 필요합니다. 시행착오를 통해 수학 학습에 대한 자신감을 키워줄 수 있다는 점을 잊지 마시기 바랍니다._〈싱가포르에도 ‘수포자’가 있을까?〉 중에서 이제 피아제, 딘즈, 프로이덴탈은 물론 이들의 이론을 발전시킨 많은 학자들의 수학 교수-학습 방법을 종합해 초등 수학 지도 원칙을 제시하겠습니다. 초등 수학 3단계 지도법입니다.
1) 1단계 ?2단계 (시각화)
언제나 출발은 현실에 기반을 둡니다. 추상적인 수학은 늘 실생활과 관련되어야 하기 때문입니다. 아이들이 좋아하는 사탕이나 과일, 동물과 같은 다양한 예를 들어주면 됩니다. 실생활 맥락은 동그라미나 네모 같은 도형이나 표, 그림을 이용해 시각화할 수 있습니다. 경우에 따라서 바둑돌과 같은 구체물을 이용해도 됩니다. 현실 맥락이 처음 모습과 다른 모델로 전환되었죠? 지각적 다양성의 원리에 따라 여러 모델을 사용하는 것을 추천합니다.
2) 2단계 ?3단계 (수학화)
현실 맥락을 바로 수식으로 가져올 수도 있습니다. 사탕 두 개와 세 개를 더해 사탕 다섯 개가 되는 것을 이용해 2 + 3 = 5를 이끌어내도 됩니다. 하지만 이때 모델이 필요한 이유를 재고해야 합니다. 모델은 패턴을 발견할 수 있도록 도와주죠. 여러 모델에서 공통의 패턴을 발견하면 추상적인 수식을 조금 더 자연스럽게 받아들일 수 있습니다. 모델의 세계에서 추상적인 수식의 세계로 이동하는 과정이 바로 수학화입니다.
3) 3단계 ?1단계 (반성)
드디어 시각화와 수학화의 과정을 거쳐 추상적인 수식을 이끌어냈습니다. 하지만, 끝난 것이 아닙니다. 다시 현실에 반영해 또 다른 예를 생각해봐야 합니다. 문제 해결 단계에서 이 단계를 반성(Reflection)이라고 합니다. 예들 들어 2 + 3 = 5를 다시 현실에 반영해 시각화, 수학화를 통해 3+ 2 = 5, 5- 3 = 2, 5 -2 = 3과 같이 본질적으로는 같은 구조를 발견하는 것이지요. 딘즈가 말한 수학적 다양성의 원리이기도 합니다.
4) 수학적 연결성
3단계 지도법은 수학의 여러 영역에 동시에 적용할 수 있는 지도방법입니다. 수학은 각 영역이 분리되어 있기도 하지만, 아주 밀접하게 관련되어 있습니다. 이를 수학적 연결성(Mathematical connection)이라고 합니다. 하나의 개념은 또 다른 개념과 어떻게든 연결되어 있지요. 이들의 관계를 제시해주면 다양한 관점에서 수학을 이해할 수 있게 됩니다._〈배우고 배워도, 또 배우고 싶게 만드는 전략〉 중에서 수학을 포함한 초등학교의 모든 학습의 초점은 아이들이 앞으로 마주하게 될 지식의 바다를 잘 헤쳐나갈 수 있는 배를 만드는 일에 맞춰져야 합니다. 개념을 하나라도 더 알려주기보다 이미 말씀드린 시각화, 패턴 찾기, 추상화, 일반화를 통해 개념을 올바로 학습하는 습관을 기르고, 이를 토대로 내 주변의 문제를 어떻게 해결할 수 있을지 사고하는 경험을 하게 도와줘야 합니다. 견고한 배를 만들 수 있는 수학 공부 습관 몇 가지를 적어봅니다.
첫째, 수학 문제는 반드시 내 손으로 답이 나올 때까지 깨끗하게 푼다
올바른 개념 학습의 중요성과 실천 방법을 이미 말씀드렸습니다. 그렇다면, 개념을 완벽하게 이해하고 있으면, 수학 문제를 잘 풀 수 있을까요? 초등학교에서는 그럭저럭 잘 풉니다. 심지어 개념을 잘 모르더라도 풀 수 있습니다. 하지만, 중학교 수학부터는 상황이 달라집니다. (……) 교사나 부모가 설명해주는 개념을 잘 이해한 것으로 만족하면 안 됩니다. 다른 사람이 자전거 타는 것을 보는 것만으로 내가 자전거를 탈 수는 없는 이치와 같습니다. 수학도 마찬가지입니다. 개념을 듣고 보기만 해서는 완전하게 이해할 수 없습니다. 손으로 끝까지 풀어보는 ‘연습’을 해야 합니다. (……) 특히, 답이 나올 때까지 푸는 연습을 꼭 해야 합니다. 이는 수학을 가르치시는 부모에게도 꼭 필요한 습관입니다.
둘째, 수학 공부는 매일 삼십 분씩 한다
초등학교 입학 전에는 앞, 뒤, 왼쪽, 오른쪽과 같은 방향과 순서를 알아두면 됩니다. 또한 비슷한 물건을 구별하고 하나씩 세보는 연습을 해야 하지요. 그런 면에서 부모와 같이하는 장난감 놀이나 다양한 활동이 아동의 수학적 사고력 향상에 큰 도움이 됩니다. 초등학교 수학 교육도 정상적인 경우라면, 실생활 맥락에서 출발하기 때문에 학습의 연장선상에서도 어린아이들에게는 일상생활이 다 수학 공부가 됩니다. (……) 꾸준하게 매일 하는 학습이 중요합니다. 일주일에 하루 이틀 시간을 내 집중적으로 공부하는 것보다 조금씩 자주 보는 것이 훨씬 좋습니다. 수식이라는 언어로 되어 있는 수학 공부도 마찬가지입니다.
셋째, 백지와 대화하는 연습을 한다
책장을 앞으로 넘겨 밑줄이 가득한 종이를 마주하고 이미 배운 개념을 반복적으로 학습하는 것은 때로 지루한 일입니다. 수학에서 개념을 여러 번 반복 학습하는 가장 좋은 방법은 문제를 풀어보는 것입니다. 문제를 풀다 보면, 내가 알고 있는 개념을 적용할 수밖에 없거든요. 그래서 기계적인 훈련이 아닌 이상, 되도록 많은 문제를 풀어보는 것은 분명히 효과적인 공부법입니다. 개념을 복습하는 또 다른 방법이 있습니다. 백지를 꺼내, 내가 알고 있는 개념을 정리해 직접 적어보는 것입니다. 처음에는 개념이나 원리를 생각나는 대로 다 써봅니다. 그러고는 써놓은 내용을 교과서나 참고서에서 제시된 구조와 비슷하게 조직합니다. 물론 처음에는 단 몇 줄을 쓰기도 어렵겠지요. 하지만, 수학 글쓰기 연습을 이런 식으로 반복하다 보면, 개념이나 원리를 자연스럽게 복습할 수 있으며, 문제를 푸는 과정에서 문제 해결을 위해 필요한 개념이 무엇인지 필요할 때 곧바로 떠올릴 수 있습니다. 더 나아가 개념과 관련된 문제도 스스로 만들 수 있게 됩니다._〈중학교 수학을 공부하기 전에 꼭 터득해야 할 것들〉 중에서 수학 문제 해결이 어려운 이유가 바로 여기에 있습니다. 수학은 추상적인 수를 다루고 있기 때문에 원래가 어려운 학문인데, 내가 이미 풀어봤던 유사한 문제가 나와도 해법을 적용시키는 유추가 쉽지 않기 때문에 수학

수학은 ‘원래’ 어려운 학문이다
솔직히 수학은 어렵다. 수학을 꾸준히 공부하기란 더욱더 힘들다. 물론 “수학이 제일 재미있어요.” “수학 공부가 제일 쉬웠어요.”라고 이야기하는 사람도 있겠지만, 평범한 사람들은 수학의 수준이 급상향하는 순간 “수학을 포기하고 싶어.”라는 좌절감을 느끼게 마련이다. 수학은 매우 까다로운 ‘로직’의 학문이고, 안타깝게도 수학이 요구하는 논리적이고 합리적이며 계통적인 사고능력은 누구에게나 자연스럽게 주어지지 않기 때문이다. 그런데 우리나라 아이들은 ‘대입수능시험’이라는 관문 탓에 마음 놓고 수학에서 손을 뗄 수도 없다. 어렸을 적부터 학원에 보내고 학습지를 풀게 하고 더 자라면 과외를 시키고…… 남들처럼 그렇게 하는 게 정답일까? 남들이 하는 방법이 내 아이에게도 맞을까, 그러다가 아이가 수학에 흥미를 잃는 건 아닐까? 문제는 잘 풀어도 수학은 싫어
대한민국 학생들의 수학 실력을 평가해보면 거의 매번 ‘상위권’이라는 결과가 나온다. 문제는 풀이 능력은 월등한데 수학 자체에 대한 가치를 인지하고 흥미를 느끼는 아이가 드물다는 점이다. 책상머리에서 공부한 수학이 방문을 열고 나가는 순간 그다지 쓸모가 없어지는 경험들이 쌓인 탓이다. “사칙연산을 하고 비율을 계산하거나 거리 및 체적을 구하는 방법만 알면 ‘나머지 수학’은 도통 쓸모를 모르겠다.”는 생각이 어쩌면 우리 모두의 진심 아니겠는가? 저자는 한편으로 이런 현상을 빚어내는 원인으로 ‘초등학교 시절부터 굳어진 잘못된 공부 습관’을 지목한다. 즉 학생들은 초등학교 시절부터 수식으로 가득 찬 학습지를 반복해서 풀고, 어른들은 수식의 의미를 정확하게 이해시키지 못한 채 기계적으로 가르치면서 애나 어른이나 문제를 푸는 데만 시간을 쏟기 때문이다. 그 결과, 어려서 시험 문제는 잘 풀었지만 어른이 된 후 합리적이고 논리적인 사고와 무관하게 살아가는 사람들을 양산한다. 사고력과 공부력, 초등학교 수학으로 기르자
중학교와 고등학교에 나오는 수많은 수학 개념 공부는 물론 앞으로 우리 아이들이 마주하게 될 미래 사회를 대비하기 위해서는 초등학교 시절에 좋은 공부 습관을 만들어야 한다. 수학은 전 세계의 어느 나라에서도 모국어 이외에 가장 중요하게 다루어지는 교육이다. 과거에도 그랬고 앞으로도 그럴 것이다. 수천 년을 내려온 수학의 지혜를 통해 논리적인 사고력을 기를 수 있기 때문이다. 선진국을 포함한 대다수의 나라에서 어린이들의 수학교육에 여전히 공을 들이고 있는 배경이다. 초등학교 수학 공부를 통해 문제 풀이 능력이 아니라 ‘지치지 않고 생각하는 힘’ ‘파고드는 힘’ ‘가정을 세우고 논리적 전개를 이끌어가는 힘’ ‘유추, 분석, 종합하는 힘’을 충분히 기른다면 최대한 실수를 줄이고 만족할 만한 해답을 얻는 경험을 축적해나갈 수 있다. 우리는 이미 클릭 몇 번으로 세상의 모든 지식을 검색할 수 있는 시대에 살고 있다. 이 시점에서 필요한 것은 나에게 필요한 지식은 무엇이며 그것을 어떻게 익혀야 하는지 알아내는 것, 그리고 불필요한 지식을 식별하여 걸러내는 방법을 익히는 능력이다. 초등학생 시절의 올바른 수학 공부는 이처럼 ‘찾아보고, 판단하고, 선택’할 수 있는 단단한 사고 근육을 만들어주는 일등공신이 될 것이다.

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