비트와 바이트 그리고 알고리즘

『해커의 기쁨』은 프로그래밍 핵(hack)들의 모음집이다. 프로그래머가 효율적인 소프트웨어를 만드는 데 도움이 되기 위해 시간 절약 기법, 알고리즘, 요령 들을 수록하였다. 이번 판에서는 순환중복 검사, 오류 보정 부호, 몫을 구하지 않고 나머지를 계산하는 방법, 배열 개체수, 압축과 확장을 위한 새 알고리즘, 부동소수점과 정수의 상호 변환 등을 새롭게 실었다.

Chapter 1 소개 / 1
1-1 표기법 1
1-2 명령 집합과 실행 시간 모형 6

Chapter 2 기초 / 13
2-1 제일 오른쪽 비트 다루기 13
2-2 논리 연산과 결합된 덧셈 19
2-3 논리식과 산술식의 부등 21
2-4 절댓값 함수 22
2-5 두 정수의 평균 22
2-6 부호 확장 23
2-7 부호 없는 오른쪽 자리이동으로 부호 있는 오른쪽 자리이동 구현 24
2-8 부호 함수 25
2-9 세 값 비교 함수 25
2-10 부호 전달 함수 26
2-11 “0은 2**n을 뜻함” 필드의 복호화 27
2-12 비교 술어 27
2-13 넘침 검출 33
2-14 더하기, 빼기, 곱하기 결과의 조건 부호 43
2-15 순환 자리이동 44
2-16 두 배 길이 더하기·빼기 명령 45
2-17 두 배 길이 자리이동 46
2-18 다중 바이트 덧셈, 뺄셈, 절댓값 47
2-19 차 또는 0(doz), 최댓값(max), 최솟값(min) 49
2-20 레지스터 교환 54
2-21 둘 이상의 값들을 교대로 설정 57
2-22 부울 분해 공식 60
2-23 열여섯 가지 이항 부울 연산을 모두 구현하는 명령들 62

Chapter 3 2의 거듭제곱 경계들 / 69
3-1 알려진 2의 거듭제곱의 배수로 반올림·반내림 69
3-2 그다음 2의 거듭제곱으로의 반올림·반내림 70
3-3 2의 거듭제곱 경계 횡단 검출 73

Chapter 4 산술 경계 / 77
4-1 정수 경계 점검 77
4-2 더하기와 빼기를 통한 경계 전파 80
4-3 논리 연산을 통한 경계 전파 84

Chapter 5 비트 개수 세기 / 91
5-1 값이 1인 비트 세기 91
5-2 패리티 108
5-3 선행 0 개수 세기 111
5-4 후행 0 개수 세기 121

Chapter 6 워드 검색 / 133
6-1 첫 0-바이트 찾기 133
6-2 주어진 길이의 첫 1-비트열 찾기 140
6-3 가장 긴 1-비트열 찾기 143
6-4 가장 짧은 1-비트열 찾기 145

Chapter 7 비트와 바이트의 재배치 / 149
7-1 비트, 바이트 뒤집기 149
7-2 비트 뒤섞기 161
7-3 비트 행렬의 전치 163
7-4 압축 또는 일반화된 추출 173
7-5 확장 또는 일반화된 삽입 180
7-6 압축과 확장을 위한 하드웨어 알고리즘 181
7-7 일반적인 치환과 ‘양과 염소’ 연산 186
7-8 재배치와 색인 변환 191
7-9 LRU 알고리즘 192

Chapter 8 곱셈 / 197
8-1 다중워드 곱셈 197
8-2 64비트 곱의 상위 절반 200
8-3 부호 있는/없는 상위 곱의 상호 변환 201
8-4 상수 곱하기 202

Chapter 9 정수 나눗셈 / 207
9-1 소개 207
9-2 다중워드 나눗셈 211
9-3 부호 있는 나눗셈을 이용한 부호 없는 짧은 나눗셈 216
9-4 부호 없는 긴 나눗셈 219
9-5 긴 나눗셈을 이용한 이중워드 나눗셈 225

Chapter 10 상수가 제수인 정수 나눗셈 / 233
10-1 알려진 2의 거듭제곱이 제수인 부호 있는 나눗셈 233
10-2 알려진 2의 거듭제곱이 제수인 나눗셈의 부호 있는 나머지 구하기 234
10-3 제수가 2의 거듭제곱이 아닌 부호 있는 나눗셈과 나머지 236
10-4 제수가 2 이상인 부호 있는 나눗셈 240
10-5 제수가 -2 이하인 부호 있는 나눗셈 249
10-6 컴파일러에 통합 251
10-7 기타 주제들 255
10-8 부호 없는 나눗셈 259
10-9 제수가 1 이상인 부호 없는 나눗셈 262
10-10 컴파일러에 통합(부호 없는 경우) 265
10-11 기타 주제들(부호 없는 경우) 268
10-12 법·바닥 나눗셈에 대한 적용 가능성 271
10-13 비슷한 방법들 271
10-14 마법의 수들의 예 273
10-15 간단한 파이썬 코드 274
10-16 제수가 상수인 완전 나눗셈 274
10-17 상수로 나눈 나머지가 0인지 점검 283
10-18 상위 곱하기 명령을 사용하지 않는 방법들 287
10-19 숫자들의 합산을 통한 나머지 계산 299
10-20 곱셈과 오른쪽 자리이동을 이용한 나머지 계산 306
10-21 완전 나눗셈으로의 변환 313
10-22 시간 측정 315
10-23 제수가 3인 나눗셈을 위한 회로 316

Chapter 11 기본 함수 몇 가지 / 319
11-1 정수 제곱근 319
11-2 정수 세제곱근 328
11-3 정수 거듭제곱 329
11-4 정수 로그 332

Chapter 12 색다른 기수의 수체계 / 341
12-1 기수 -2 341
12-2 기수 -1 + i 수체계 349
12-3 기타 기수들 352
12-4 가장 효율적인 기수는? 353

Chapter 13 그레이 부호 / 355
13-1 그레이 부호 355
13-2 그레이 부호화 정수의 증가 358
13-3 음이진 그레이 부호 360
13-4 간략한 역사 및 응용 360

Chapter 14 순환 중복 검사(CRC) / 365
14-1 소개 365
14-2 이론 367
14-3 실제 응용 370

Chapter 15 오류 보정 부호 / 379
15-1 소개 379
15-2 해밍 부호 380
15-3 정보 비트 32개용 SEC-DED를 위한 소프트웨어 386
15-4 오류 보정에 대한 좀 더 일반적인 고찰 392

Chapter 16 힐베르트 곡선 / 405
16-1 힐베르트 곡선의 생성을 위한 재귀적 알고리즘 406
16-2 힐베르트 곡선을 따라 이동한 거리에 따른 좌표 계산 410
16-3 힐베르트 곡선의 한 점까지의 거리 417
16-4 힐베르트 곡선에서의 좌표 증가 419
16-5 비재귀적 생성 알고리즘 422
16-6 그 외의 공간 채움 곡선 423
16-7 응용 424

Chapter 17 부동소수점 / 427
17-1 IEEE 형식 428
17-2 부동소수점-정수 상호 변환 430
17-3 정수 연산을 이용한 부동소수점 수들의 비교 434
17-4 제곱근의 역수 근사 루틴 436
17-5 선행 숫자들의 분포 439
17-6 그 외의 여러 값들 441

Chapter 18 소수를 위한 공식들 / 445
18-1 소개 445
18-2 윌런스의 공식 448
18-3 워멜의 공식 452
18-4 그 밖의 어려운 함수에 대한 공식들 453

연습문제 해답 461

부록 A 4비트 컴퓨터를 위한 산술 연산표 517
부록 B 뉴턴의 반복법 523
부록 C 이산 함수 그래프 모음 527
C-1 정수에 대한 논리 연산들의 그래프 527
C-2 덧셈, 뺄셈, 곱셈 그래프 529
C-3 나눗셈 관련 함수들의 그래프 531
C-4 압축, SAG, 왼쪽 순환 자리이동 함수의 그래프 533
C-5 몇 가지 단항 함수들의 그래프 534

참고문헌 539
찾아보기 548

이번 절에서는 오른쪽으로 압축 함수와 그 역함수를 위한 하드웨어 지향적 알고리즘들을 제시한다([Zadeck]). 이전 절의 알고리즘들처럼 이번 절의 알고리즘들은 그 실행 시간이 컴퓨터의 워드 크기의 로그에 비례한다. 이 알고리즘들은 하드웨어에서 구현하기에 적합하지만, 기본 RISC 명령들로 구현한다면 빠른 코드가 나오지 않는다. 따라서 C나 기계어 코드는 제시하지 않고 작동 방식만 설명하겠다.
_181지금 풀고자 하는 문제는, 캐시 적중 실패(cache misss; 즉, 특정 주소에 있는 워드가 요청되었는데 그 주소의 자료가 캐시에 없는 상황)가 발생했을 때, 캐시의 블록(또는, 캐시 쪽 용어로 라인line)들 중 요청된 자료로 대체할 것을 컴퓨터가 어떻게 결정하는가이다. 이상적인 선택은 향후 제일 오랫동안 참조되지 않을 캐시 라인의 자료를 대체하는 것이다. 그러나 미래를 알 수는 없는 일이므로 추측이 필요하다. 다양한 응용 프로그램에 대한 최선의 추측으로 간주되는 것이 바로 최근 최소 사용(least recently used, LRU) 방침이다.
_192CRC(cyclic redundancy check), 즉 순환 중복 검사는 디지털 자료의 오류를 검출하는 기법으로, 검출한 오류를 보정하기 위한 것은 아니다. CRC는 주로 자료 전송에 쓰인다. CRC 기법에서
는 특정한 개수의 검사 비트(check bit)들을 전송할 메시지에 추가한다. 그런 비트들을 체크섬(checksum)이나 해시 부호(hash code)라고 부르기도 한다. 수신자는 검사 비트들이 자료와 부합하는지를 점검함으로써 자료 전송 도중에 오류가 발생했는지의 여부를 어느 정도의 확률로 알아낼 수 있다.
_365공간 채움 곡선은 화상 처리(이미지 처리) 분야에서 압축, 망점 처리(halftoning), 재질 분석(textural analysis) 등에 쓰인다([L&S]). 또 다른 응용 분야는 그래픽 렌더링 기법의 하나인 광선 추적(ray tracing)의 컴퓨터 성능 개선이다. 광선 추적 기법에서는 광선들을 장면 전체에 통상적인 래스터 주사선(scanline) 순서로(즉, 화면의 왼쪽에서 오른쪽으로, 그리고 위에서 아래로) 투사한다. 묘사하고자 하는 장면의 데이터베이스에 속한 어떤 물체에 광선이 닿으면, 그 지점에서의 물체의 색상 및 기타 속성들을 이용해서 그 지점에 해당하는 픽셀의 조명 값을 계산한다.
_424젊은 학생들이 흔히 그렇듯이, 나도 한때는 소수素數(prime number)에 빠져서 소수를 위한 공식을 찾아 헤맸다. 나는 ‘공식’에서 유효한 것으로 간주되는 연산들이 무엇인지 정확히 알지 못했으며, 내가 찾는 함수가 정확히 무엇인지도 알지 못했다. 그냥 n번째 소수를 n 또는 그 이전 소수(들)로 표현하는 어떤 공식일 수도 있고, 모든 소수는 아니더라도 어떤 소수들을 산출하는 공식일 수도 있겠다. 그러한 애매모호함이 있긴 하지만, 이 문제에 대해 알려진 사실들을 여기서 조금이나마 논의하고자 한다.
_445

우아한 프로그래밍, 바로 써먹는 알고리즘!
『해커의 기쁨(제2판)』은 헨리 워렌이 다시금 만들어 낸, 프로그래밍 핵(hack)들의 거부할 수 없는 모음집이다. 프로그래머가 좀 더 우아하고 효율적인 소프트웨어를 만드는 데 도움이 되는 시간 절약 기법들과 알고리즘, 요령들로 가득한 이 책은 프로그래밍에 대한 좀 더 깊은 통찰도 제공한다. 워렌의 핵들은 매우 실용적이면서도 본질적으로 흥미로우며, 위대한 퍼즐의 해법과 비슷하게 가끔은 예기치 못한 측면도 보여준다. 이들은 한마디로 말해서, 뭔가 개선할 기회가 생기면 마음이 들뜨는 모든 프로그래머에게 하나의 기쁨이다.제2판에는 다음과 같은 방대한 내용이 새로이 추가되었다.
ㆍ 순환 중복 검사(CRC)에 대한 새로운 장 ― 흔히 쓰이는 CRC-32 부호를 위한 루틴들도 포함
ㆍ 오류 보정 부호(ECC)에 대한 새로운 장 ― 해밍 부호를 위한 루틴들도 포함
ㆍ 상수를 제수로 한 정수 나눗셈에 대한 좀 더 자세한 내용 ― 자리이동과 더하기 명령만 사용하는 방법들도 포함
ㆍ 몫을 구하지 않고 나머지를 계산하는 방법
ㆍ 개체수(1-비트 개수) 및 선행 0-비트 개수에 대한 좀 더 자세한 내용
ㆍ 배열 개체수
ㆍ 압축과 확장을 위한 새 알고리즘들
ㆍ LRU 알고리즘
ㆍ 부동소수점과 정수의 상호 변환
ㆍ 부동소수점 역제곱근 근사 루틴
ㆍ 이산 함수 그래프 모음
ㆍ 많이들 기다렸던 연습문제와 해답추천사
이 책은 컴퓨터 산술의 깊고 어두운 비밀을 말해준다고 약속하는 최초의 책으로, 실제로도 그런 비밀을 낱낱이 밝힌다. 이 책에는 내가 아는 것보다 훨씬 많은 요령이 들어 있다. 라이브러리 개발자와 컴파일러 작성자, 그리고 우아한 해킹을 사랑하는 이에게 신의 선물과도 같은 이 책은 책장의 커누스 책 옆에 꽂아두기에 손색이 없다. 제1판이 나온 지 10년 동안, Sun과 Google에서 일하면서 이 책을 아주 유용하게 사용했다. 그리고 제2판에 수록된 새로운 내용 전부가 나를 전율케 한다.
_ 조슈어 블로크(Joshua Bloch)처음 이 책을 보았을 때 다른 컴퓨터에 침입하는 방법을 가르치는 책이거나(그럴 것 같지는 않았지만) 아니면 작은 프로그래밍 요령들을 대충 그러모은 책일 것이라고 짐작했다. 알고 보니 후자이긴 하지만, 해당 주제를 거의 백과사전 수준으로 상세히 다룬 책이었다. 제2판에는 새로운 주요 주제를 다루는 두 개의 장이 추가되었으며, 전체적으로 수십 가지의 작은 요령들이 추가되었다. 그중 하나는 내가 이진 검색 알고리즘에 바로 써먹었는데, 바로 두 정수의 평균을 넘침(overflow)이 일어날 걱정 없이 계산하는 기법이다. 책 제목대로, 해커로서의 나는 실제로 기쁨을 얻었다.
_ 가이 스틸(Guy Steele)

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