이해 못 할 세상을 수학적으로 이해하는 방법

우리는 더 명료하게 사고해야 한다

비논리적 인간 세상에서 반박 불가한 명쾌한 논증을 구축하기 위해 탐험하고, 발견하고, 이해해야 할 논리의 세계! 순수 수학자의 실용적이고 영감 가득한 지침서 우리 시대의 가장 명확하고 활기차고 꼭 필요한 대중 수학자. -북포스트 이 세상에 만연한 비합리성을 제거할 뛰어난 기술을 선보인다. -네이처

서문

1부 논리의 힘
1장 어째서 논리인가
2장 논리란 무엇인가
3장 논리의 방향성
4장 반대와 거짓
5장 비난과 책임
6장 관계
7장 맞는 말 하는 법

2부 논리의 한계
8장 진리와 인간
9장 역설
10장 논리가 도움이 안 되는 경우

3부 논리를 넘어서
11장 공리
12장 선 긋기와 회색 지대
13장 비유
14장 동치
15장 감정
16장 지능과 합리성

감사의 말
옮긴이의 말
찾아보기

의견 충돌이 일어나면 자신의 주장에 무게를 더하기 위해 〈논리〉라는 단어를 던질 때가 있다. 〈논리적으로 보면 이것은 참일 수밖에 없어〉 혹은 〈논리적으로 그건 말이 안 돼!〉 혹은 〈한마디로 논리적이지가 않잖아!〉 등등. 〈수학적으로〉라는 단어도 이런 식으로 자주 사용된다. 「수학적으로 보면 그들은 선거에서 이길 수가 없어.」 안타깝게도 이런 식의 표현은 무의미한 경우가 많다. 빈약한 논증을 어떻게든 떠받쳐 보려는 최후의 발악일 때가 대부분이다. 남용 때문에 이런 단어들의 가치가 떨어지는 것이 슬프기는 하지만 그래도 나는 낙관주의자니까 여기서 무언가 희망적인 것을 찾아보려 한다. 나는 그래도 어느 정도는 사람들이 논리와 수학은 반박이 불가능하니까 이것을 이용하면 논란을 확실히 종결할 수 있음을 알고 있다는 사실에 희망을 느낀다. 논리와 수학이라는 이름이 비록 헛된 시도일망정 상대방의 주장을 꺾는 데 쓰인다면 적어도 어떤 면에서는 사람들이 그것의 힘을 인정한다는 의미니까 말이다. (21면)논리 세계에도 몇 가지 단점이 있다. 그중 하나는 그저 목소리만 크다고 논쟁에서 이길 수 없다는 점이다. 물론 이것은 당신이 목소리를 키워서 논쟁에서 이기려고 할 때만 단점으로 작용한다. 나는 그러지 않지만 안타깝게도 아주 많은 사람들이 이런 식으로 논쟁을 벌인다. 그래서 그들은 논리 세계를 좋아하지 않는다. 그리고 그들 마음에 들지 않는 것이 또 있다. 바로 논리 세계에서는 나처럼 체구가 조그맣고, 목소리도 작고, 멋도 없는 사람을 상대로 쉽게 이길 수 없다는 점이다. 논리 세계에서는 힘이 우람한 근육이나 두툼한 지갑, 혹은 운동 솜씨에서 나오지 않는다. 그 힘은 순수한 논리적 지능에서 나온다. (24면)노력이 필요한 일이지만 논리의 밑바탕이 되는 원리를 더욱 깊이 깨칠수록 우리도 더욱 훌륭하고 생산적인 논쟁을 벌일 수 있다. (30면)카일 맥도널드 Kyle MacDonald는 종이 클립을 집과 교환하는 엄청난 과제에 도전해서 성공한, 인터넷에서 전설적인 인물이다. 한 번에 교환한 것은 아니지만 부당한 거래가 아니라고 믿는 사람들과 일련의 교환을 이어 가 결국에는 성공을 거두었다. 물론 그가 처음에 교환을 시작한 종이 클립은 아주 큰 물건이었다(그리고 빨간색이었다). 사무실에서 흔히 보이는 평범한 종이 클립은 아니었다.
이게 대체 말이 되는 소리인가 싶겠지만 그는 기나긴 일련의 거래를 통해 이를 해냈다. 각각의 단계에서 사람들은 교환하려는 물건 두 개의 가치가 거래할 만큼 충분히 동등하다고 판단했지만, 결국 그는 그 과정에서 원래의 종이 클립으로부터 아주 먼 곳까지 이동할 수 있었다.*카일 맥도널드의 거래*
종이 클립→물고기 모양의 펜→수제 조각 문손잡이→캠핑용 버너→1천 와트 발전기→네온사인이 있는 맥주통→스노 모빌→브리티시컬럼비아주에 다녀올 수 있는 2인용 여행권→대형 수화물차→메탈웍스와의 음반 녹음 계약서→애리조나주 피닉스의 방 1년 전세→록 스타 앨리스 쿠퍼와 오후를 함께할 수 있는 이용권→전동 스노볼→코빈 번슨 영화의 배역 계약서→서스캐처원주 키플링에 있는 이층집
(58~59면)논리학과 수학에서는 이것을 공리(公理)라고 한다. 논리에서는 출발점이 필요하다. 무언가가 있어야만 그것으로부터 다른 무언가를 연역하기 때문이다. 무(無)로부터 무언가를 연역할 수는 없다. 우리는 마술사가 아니다. 그리고 마술사라고 해도 실제로 무로부터 무언가를 만들어 낼 수는 없다. 그들은 그저 우리를 아주 성공적으로 속일뿐이다. 만약 무로부터 무언가를 연역해 냈다고 주장하는 논리학자가 있다면 그 사람도 우리를 속이는 것이다. (75면)나의 박사 학위 지도 교수였던 마틴 하이랜드 선생님이 내게 가르쳐 준 중요한 교훈 중 하나는 상황에 맞는 적절한 추상화 수준을 찾아내는 것이 중요하다는 점이었다. 이것은 적절한 거리에서 전등을 비추는 것과 비슷하다. 그래야 세부 사항까지 밝게 눈에 들어오면서 동시에 그 주변의 맥락까지 충분히 파악할 수 있다. 추상화의 경우 이것은 자기가 연구하려는 진리는 여전히 간직한 채 세부 사항은 최대한 많이 잊어버리는 것이다. 상황과 관련 있는 세부 사항을 잊어버리면 그 상황에서 결정적으로 중요한 부분까지 잊어버릴 수 있다. 세부 사항을 계속 잊어버리다 보면 결국에는 모든 것이 똑같아진다. 그리고 이것은 세상을 바라보는 생산적인 방법이라 하기 힘들다. (그래도 나는 모든 인간이 그 뿌리는 모두 똑같다는 사실을 기억하면 무언가 얻을 것이 있다고 생각한다.) (321면)우선 감정은 우리가 정말로 믿는 것이 무엇인지 알아내는 데 도움을 준다. 수학에서 우리가 무언가를 증명하기 전에 무엇이 논리적으로 옳은지 추측하게 도와주는 것처럼 말이다. 이 직감이 어디서 오는 것인지 면밀히 분석해 보면 감정은 우리가 논리적 정당화에 도달할 수 있게 도와준다.
유용한 논리적 과정의 그다음 단계는 다른 사람들에게 그 내용을 설득하는 것이다. 여기서 감정을 활용하는 것이 얼마나 중요한지에 대해 논의해 보려고 한다. 하지만 감정이 논리를 대체해서는 안 된다. 감정은 논리를 강화하는 역할을 해야 한다.
때때로 사람들은 논리와 과학적 증거만을 써서 결론에 도달해야 한다고 주장한다. 하지만 논리와 증거로는 설득할 수 없는 사람을 만나면 어떻게 할 것인가? 논리와 증거로는 설득이 안 되니 논리와 증거를 사용할 수는 없다. 그럼 감정을 이용해야 한다.
어찌 보면 이것은 감정이 논리보다 훨씬 더 강력하고, 다른 그 어떤 정당화 기법보다도 훨씬 설득력 있다는 의미다. 만약 무언가를 느낄 때 그 느낌 자체를 부정할 방법은 결코 존재하지 않는다. 감정을 부정하기보다는 이런 강력한 힘을 좋은 방향으로 써서 감정으로 논리를 뒷받침해야 한다.
(395면)

논리는 논증에 엄격함을,
감정은 논증에 설득력을 부여한다수학 속 논리의 작용 원리를 우리 생활에 적용해 논리적으로 분명하게 생각하는 방법을 제시한 『논리의 기술』이 열린책들에서 출간되었다. 유지니아 쳉의 세 번째 저서인 이 책은 처음 2018년 영국에서 출간되었으며 그녀를 대중에게 꼭 필요한 수학자로 각인시켰다.
이 책은 수학의 기본 방식을 우리가 매순간 맞닥뜨리는 의견 불일치의 상황에서 더 명확하게 생각하고 억지 논증을 펼치지 않도록 돕는다. 더 나아가 정치적 이슈나 매일 벌어지는 사람들 사이의 차별 문제로까지 확장하는 시도를 했다. 왜 체중이 자꾸 느는지(159면), 시험 결과가 나쁘면 왜 모두 학생의 탓을 하는지(136면), 두 사람은 왜 이혼하게 되었는지(167면), 집안의 설거지 논쟁은 왜 끝이 나지 않는지, 그리고 2016년 트럼프가 미국 대통령으로 당선이 된 연유(160면), 미국 경찰이 흑인을 대상으로 잔인한 행동을 끊임없이 하는 연유(168면), 오바마 케어를 두고 의견이 하나로 합쳐지지 않는 이유(97면), 성차별을 두고 서로 싸우는 이유(80~81면) 등 사회적 갈등을 일으키는 문제들을 가지고 수학적 사고 방식을 펼친다. 유지니아 쳉은 수학은 오직 수학책에서 숫자로만 존재하는 것이 아니라고 말한다. 그녀는 책을 통해 우리의 일상과 사고의 방식 하나하나에 수학을 적용할 수 있다는 것을 유쾌하게 보여 준다.일상 생활에서 논리가 필요한 이유
논리는 세심한 추론을 통해 논증을 구성하는 과정이다. 일상의 삶에 이것을 시도해 보면 다양한 결과가 나올 수밖에 없다. 일상적인 생활 속의 것들은 논리적인 정도가 다 다르기 때문이다. 감정 때문인 경우도 있고, 때로는 처리해야 할 데이터가 너무 많아서, 때로는 빠진 데이터가 너무 많아서, 때로는 무작위적인 요소가 끼어들어서 그러하다. 하지만 이럴수록 그 속성을 잘 인지하고 수학적 사고의 도구를 사용해 문제의 핵심을 찾아낼 수 있어야 한다.
저자는 이를 위해 〈추상〉의 개념을 소개하며 권한다. 세부사항을 접어 두는 것이다. 그러면 본질이 드러나고, 전체적인 상황을 더 깊이 이해하는 밑거름에 더 다가설 수 있다. 저자는 일상의 다양한 상황들을 도표로, 그래프로, 수식으로 변환하여 수학의 답처럼 명확히 결론에 다다르는 과정을 보여 준다. 그러면 세부사항에 휘둘려 문제의 본질이나 결론에 다다르지도 못한 채 불신과 대립만 남는 상황을 개선할 수 있으리라는 것이다. 저자는 수학이 더 나은 사회를 만들고 더 행복한 대화와 관계를 만드는 데 의미 있는 기여할 수 있다고 믿는다. 완벽해 보이는 논리에도 한계가 있다
논리는 1분, 1초가 긴박한 비상 상황이나 논리적으로 행동하는 데 필요한 정보를 모두 갖추지 못한 경우에는 한계에 부딪힌다. 하지만 자전거가 하늘을 날지 못한다고 해서, 속도가 느리다고 해서, 산에 오를 수 없다고 해서 쓸모없는 것은 아니다. 러시아워에도 유용할 것이고, 환경에도 좋고, 운동에도 도움이 된다. 논리도 마찬가지이다. 논리는 처음과 끝이 없다는 한계를 가진다. 또한 수학적인 옳고 그름 사이에 넓은 회색 지대가 존재하기도 한다. 우리는 그러한 점을 알아야 한다. 저자는 수학적 논리의 한계성을 보여 주면서 진실에 다가가는 수단으로서만 수학과 논리를 사용할 것을 권한다. 그것이 본능, 막연한 의심, 직감, 느낌 등을 사용하는 것보다는 훨씬 더 합리적이고 설득력 있는 결론을 낼 수 있기 때문이다.비논리적인 것들의 매력 그리고 필요성
언어는 논리와 비논리가 교묘히 조합되어 있다. 창조적 과정에서 출발점은 번뜩이는 영감이다. 또한 아무리 훌륭한 논리로 무장을 했어도 결국 상대방이 그 논리에 귀를 닫는다면 아무 소용이 없다. 논리가 상대방에게 설득력 있게 다가서려면 먼저 그 사람의 마음을 열어야 한다. 공감을 이끌어내야 한다. 감정은 논리와는 서로 정반대인 것으로 들리지만 사실은 음양의 조화처럼 함께 어울려야 완전해진다. 논리의 한계를 넘어서지 않으면서 우리의 인간으로서의 깊은 이해와 공감을 사용할 때 비로소 우리는 더욱 명쾌하게 생각하고, 더욱 효과적으로 소통할 수 있다. 이것이야말로 진정한 논리의 기술이 아닐까.

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